Racines carrées - Démonstration

Trouver les racines carrées complexes de  `a` revient à résoudre l'équation `x^2=a` .
On a : \(\begin{align*} x^2=a & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x^2-a=0 \end{align*}\) .

• Cas où \(a>0\)
  

Le nombre  \(\sqrt{a}\) existe et vérifie `(\sqrt{a})^2=a` . On a donc :
\(\begin{align*} x^2-a=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x^2-(\sqrt{a})^2=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ (x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+\sqrt{a}=0 \ \text{ ou } \ x-\sqrt{a}=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=-\sqrt{a} \ \text{ ou } \ x=\sqrt{a} \end{align*}\)
donc \(S=\left \lbrace -\sqrt{a} \ ; \sqrt{a} \right \rbrace\) .

• Cas où \(a=0\)
  

Il est clair que : \(x^2=0 \ \Longleftrightarrow \ x=0\) , donc `S= { 0 }` .

• Cas où \(a<0\)
  

Le nombre  \(\sqrt{-a}\) existe et vérifie \((\sqrt{-a})^2=-a\) . On a donc :
\(\begin{align*} x^2-a=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x^2+(\sqrt{-a})^2=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x^2-\left(-(\sqrt{-a})^2\right)=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x^2-(i\sqrt{-a})^2=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ (x+i\sqrt{-a})(x-i\sqrt{-a})=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x+i\sqrt{-a}=0 \ \text{ ou } \ x-i\sqrt{-a}=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ x=-i\sqrt{-a} \ \text{ ou } \ x=i\sqrt{-a} \end{align*}\)
donc \(S= \{ -i\sqrt{-a} \ ; i\sqrt{-a} \}\) .